Cumplimiento de las especificaciones de los materiales

Parte 2

por Joel Dobson

P. ¿Cuáles son algunos aspectos adicionales de las consideraciones estadísticas para cumplir con las especificaciones de los materiales?

R. Un artículo anterior en la sección Data Points (número de mayo/junio de Standardization News), "Meeting Materials Specs" (Cumplimiento de las especificaciones de los materiales), demostró que la probabilidad de que un valor verdadero esté fuera de especificación cuando el valor medido está dentro de especificación depende de los valores de los índices de capacidad del proceso, CPU y CPL.

Sobre la base de esa discusión, este artículo cubre más detalles sobre los datos, el proceso y los valores verdaderos.

En primer lugar, las definiciones:

(1) LSL = Límite inferior de especificación             

(2) USL = Límite superior de especificación                       

Los límites de especificación evalúan partículas de datos sin procesar, porque cada partícula de datos debe estar dentro de especificación para enviar el material. 

Los índices de capacidad del proceso relacionados con LSL y USL son los tres siguientes:

(3)

(4)

(5)

No conocemos el valor de sigma, s, de modo que lo estimamos mediante el uso de la desviación estándar entre las partículas de datos sin procesar. Nuestra estimación de sigma para la ecuación de la relación precisión-tolerancia (PTR) proviene de la desviación estándar entre nuestras partículas de datos sin procesar. Nuestra estimación de sigma no usa el sigma de proceso estimado a partir de un gráfico de control estadístico de procesos (SPC).

La capacidad del proceso, CPK, tiene relación con las partículas de datos sin procesar, ya sea dentro de especificación o fuera de especificación (OOS). CPL y CPU pueden considerarse como un tercio de los puntajes Z, donde un puntaje Z es un cuantil normal estándar. El puntaje Z es la cantidad de sigmas que separa cada límite de especificación de la media. Si los datos tienen una distribución normal, podemos usar (-3)* CPL o 3* CPU para estimar la proporción de material que estará OOS, a cada lado de la media. En términos de ecuaciones, el significado es el siguiente.

En la parte superior tenemos:

(6)

Definimos:

(7)

(8) De modo que obtenemos: Puntaje Z  =   3  *  CPU

(9) en la parte superior. Por otro lado, tenemos: 

(10) Puntaje Z  =   (-3)  *  CPL

(12) en la parte inferior.

Este enfoque no contempla el control de procesos con un gráfico SPC, que usaría UCL y LCL. Para un gráfico SPC, UCL es el límite de control superior y LCL es el límite de control inferior. UCL y LCL podrían evaluar, por ejemplo, la media de un lote -conocida de forma alternativa como la media del subgrupo- mientras que LSL y USL se utilizan para juzgar átomos de datos sin procesar. Los límites de las especificaciones no evalúan las medias de subgrupo. Hay otros gráficos de SPC que evalúan la desviación estándar del proceso; estos tienen sus propias fórmulas distintas para sus LCL y UCL. Los límites de control evalúan las estadísticas de resumen de subgrupos, mientras que los límites de especificación evalúan los átomos de datos sin procesar. Con frecuencia, Shewhart estaba usando intervalos tipo Wald, o intervalos de aproximación normal, para LCL y UCL, en una cantidad de 3 sigmas de la media.

Cuando medimos cada átomo de datos sin procesar, nunca conocemos el valor verdadero (TV), que se mantiene secreto para nosotros. Hay un error incluido dentro del valor medido (MV). Aplicando GRR, estimamos la varianza del término de error (error) y tenemos un estimado de la varianza de los valores medidos, por lo que dejamos de lado la varianza de los valores verdaderos (secretos). A continuación se muestran las ecuaciones para hacerlo.

Es fácil estimar la covarianza del valor verdadero y el valor medido, lo que se realiza en los dos ejemplos del artículo. Aunque no tenemos idea de cuáles son los valores verdaderos, podemos hablar de su distribución. Lo hacemos aplicando la distribución normal bivariante. El concepto de valores verdaderos y valores medidos podría hacer recordar la cueva de Platón, como una metáfora.

Las ecuaciones aplicables son las siguientes:

(13) MV = TV + error

En el artículo anterior, esto se escribe de la siguiente manera:

(14) X2 = X1 + e

(15) Var(MV)  = Var(TV) + Var(error)

Resolvamos esto para Var (TV):

(16) Var(TV) = Var(MV) -  Var(error)

En el artículo anterior, esto se escribe de la siguiente manera:   

(17) Var(X2) = Var(X1)  + Var(e)                                                              

Resolviendo para el estimado de sigma de TV: 

(18 Usando las variables del artículo, podemos resolver para Var (X1)

(19) Var(X1)  =  Var(X2)  -   Var(e)

(20) Cov(MV, TV) = Cov(TV + error,  TV)  =  
Var(TV) +  Cov(TV, error) = Var(TV) + cero =

(21) Var(TV)  = Var(X1)

En otras palabras:   

Cov(X2, X1) = Cov(X1 + e, X1)  =  
Var(X1) +  Cov(X1, e) = Var(X1) + cero =

(22) Var(X1)  = Var(TV)                                                                

Aunque nunca sabemos los valores verdaderos, podemos hacer progresos con respecto a los valores Overkill y Under-kill. Overkill significa que una unidad dada tiene un valor verdadero (secreto) que está dentro de especificación mientras el valor medido está fuera de especificación (OOS). Under-kill indica que la unidad dada tiene un valor verdadero (secreto) que está OOS mientras el valor medido está dentro de especificación. Overkill es un tipo de riesgo del fabricante, y Under-kill es un tipo de riesgo del cliente.

El artículo de mayo/junio de Data Points está obsesionado con la cuestión de Under-kill, el riesgo del cliente. El artículo no aborda el aspecto de Overkill.  

Nuestra idea es considerar que TV y MV forman una distribución normal bivariante. Por supuesto, esto puede ser una aproximación. Las distribuciones condicionales de nuestra normal bivariante se relacionan con Overkill y Under-kill. Usamos las funciones bivariantes en R para formar nuestras estimaciones para Under-kill en el estudio. El Overkill se calcularía con la misma lógica pero desde el otro lado, por decirlo así. 

Aunque nunca conocemos los valores verdaderos, podemos hacer declaraciones de probabilidad matemáticamente a partir de sus distribuciones condicionales. Como se menciona en el artículo, la función R pmvnorm() de la biblioteca R mvtnorm puede usarse para estimar las probabilidades relevantes.

Joel Dobson es un estadístico del Texas Instruments Semiconductor Quality Group en Dallas, Texas. Dobson, estadístico profesional acreditado de la American Statistical Association, ha sido miembro de ASTM International desde 2014. Es vocal del subcomité ejecutivo del Comité sobre Calidad y Estadística (E11).