Standardization News:

P. ¿Cómo usamos la distribución de Weibull para nuestro modelo de modo de falla que permite una o más fallas?

R. En las Partes 1 y 2 de esta serie,^1-2 explicamos los planes de prueba de cero fallas que no dependen de ninguna distribución supuesta y planes similares que utilizan la distribución de Weibull como modelo para el modo de falla. En ambos casos se utilizó un criterio de cero fallas. Aquí, continuamos usando la distribución de Weibull pero también permitimos una o más fallas en el plan. Se recomienda a los lectores que no estén familiarizados con las partes 1 y 2 de esta serie, que lean los dos primeros artículos para obtener información básica, incluida la terminología y los detalles de la distribución de Weibull.

En los planes discutidos aquí, hay un tiempo de prueba, t₀, más allá del cual cualquier prueba se considera exitosa si su vida es mayor que t₀. El tiempo t₀ a veces se denomina "umbral de falla". También hay un tamaño de muestra, n, y una cantidad de fallas, r, permitidas por el plan. Cuando una muestra falla antes de t₀, esa unidad cuenta como falla en el plan. Además, se emplea un valor de confianza C (0 < C < 1) y una supuesta "pendiente" β de Weibull para la distribución de Weibull empleada, que es el modelo asumido para el tiempo de falla. Para repasar, la distribución acumulativa de Weibull con sus dos parámetros es la ecuación 1.

Esto se puede reformular como:

donde, en lugar del parámetro η, se ha reemplazado un parámetro de vida B_p por un p arbitrario. La vida B_p es una vida tal que presenta una probabilidad p% de falla en ese momento. En la planificación de la prueba, un objetivo es determinar un límite de confianza más bajo para el parámetro η, o para una vida B_p relacionada, donde (0 < p < 100) se interpreta como un porcentaje de falla. Por ejemplo, la vida útil B₁₀ es un valor de vida tal que la probabilidad de falla es de 10 %, lo que hace que la confiabilidad en este punto sea 100 - 10 = 90 %.

Los planes en este artículo suponen que se especifican β, C, n y r, y que se busca el tiempo de prueba, t₀. Además, hay una vida B_p objetivo, especificada para la que estamos tratando de demostrar. Cuando se cumpla el plan, podemos afirmar con una confianza del 100C% de que la vida B_p real es al menos la especificada por el plan. El método usa la distribución beta (que no debe confundirse con el parámetro de forma β de Weibull) y la cdf (distribución beta acumulativa) de Weibull, Ecuación 1 con confianza C, tamaño de muestra n y cantidad máxima de fallas permitida por el plan, r. Comience resolviendo la siguiente distribución beta acumulativa (cdf) para v (consulte la Referencia 3 para obtener información general sobre la distribución beta).

En la Ecuación 3, C es la confianza fija elegida y B(a, b) es una función de densidad beta con parámetros a = r + 1 y b = n - r. Entonces C es igual a la cdf beta evaluada en v. Llamaremos a esta cdf G(v). v se obtiene usando la cdf beta inversa con el argumento o. Esto es:

Esto puede calcularse fácilmente con un programa como MS Excel. Utilice la función beta inversa de Excel como "=BETA.INV(C,r + 1, n - r,0,1)". El programa devuelve el valor requerido de v.

Cuando se determina v, se usa en la función cdf de Weibull, Ecuación 1, como v = F(t₀) donde t₀ es el tiempo de prueba resultante. El tiempo de prueba t₀ se calcula invirtiendo v = F(t₀) y también aplicando la función cdf alternativa de Weibull, Ecuación 2. Este resultado es una solución de forma cerrada que se muestra en la Ecuación 5.

En la Ecuación 5, t₀ es el tiempo de prueba requerido de manera que en una muestra de n unidades no se permiten más de r fallas. Para ello se utiliza una confianza C y un parámetro de forma β supuesto. Tenga en cuenta que C, n y r se incorporan en el cálculo de v y no aparecen directamente en la Ecuación 5.

Ejemplo

Una prueba de demostración para un cierto tipo de dispositivo mecánico de seguridad tiene un requisito de B₁₀ ≥ 1000 minutos con un 90 % de confianza. El ingeniero de pruebas utilizará β = 1,5 ya que este es un valor estándar utilizado para este tipo de dispositivo en toda la industria. Se dispone de una muestra de tamaño n = 21 y el ingeniero está dispuesto a permitir r = 1 falla durante la prueba. Es fácil utilizar un programa de tipo hoja de cálculo con función beta incorporada para determinar el plan para este simple caso. El siguiente ejemplo es un resultado de MS Excel que muestra las entradas, los pasos y el resultado final.

Presentación de la solución

El valor v = 0,172935 se determinó mediante las Ecuaciones 3 y 4 con n = 21, r = 1 y C = 0,9. El tiempo de prueba t₀ se determinó mediante la Ecuación 5. En este caso, se requieren t = 1481 minutos de prueba para cada una de las 21 muestras. Se permite una falla. Si el plan se ejecuta y no se produce más de una falla, se ha demostrado la vida útil de B₁₀ de 1000 minutos con un 90 % de confianza. El tiempo total de la prueba en este caso es un máximo de 31.099 minutos o 518,4 horas, aproximadamente. En la práctica, se podría variar el tamaño de la muestra, la cantidad permitida de fallas, la confianza y la β supuesta para ver el efecto en el tiempo de prueba. Por ejemplo, si mantenemos la confianza y r = 1 fija, podemos crear una tabla que muestre el efecto de cambiar el tamaño de la muestra.

Tabla 1 - Efecto del tamaño de muestra seleccionado, n, sobre el tiempo de prueba, t₀ (ver ejemplo).

Los lectores podrían estar interesados en saber que el subcomité de confiabilidad (E11.40) ha desarrollado recientemente una nueva norma para la planificación de pruebas de confiabilidad. Este documento se designará como E3291 y se publicará a finales de este año. La nueva norma ofrece muchos más detalles y escenarios de prueba como los que se analizan en esta serie de artículos.

Referencias:

1. Luko, Stephen, y Neubauer, Dean, Building on Reliability: Reliability Test Planning (Reforzando el concepto de confiabilidad: Planificación de pruebas de confiabilidad), Data Points, ASTM Standardization News, Vol. 49, N° 1, enero/febrero de 2021, pág. 52-53.
2. Luko, Stephen, y Neubauer, Dean, Building on Reliability: Reliability Test Planning, Part 2 (Reforzando el concepto de confiabilidad: Planificación de pruebas de confiabilidad, Parte 2), Data Points, ASTM Standardization News, Vol. 49, N° 3, mayo/junio de 2021, pág. 48-49.
3. Beta Distribution (Distribución beta), en.wikipedia.org/wiki/Beta_distribution.

Stephen N. Luko, es estadístico principal retirado de United Technologies Corp/Collins Aerospace. Presidente del subcomité sobre confiabilidad (E11.40), integrante del Comité sobre calidad y estadística (E11), miembro de ASTM International, ganador del premio Harold F. Dodge y expresidente del comité E11.

John Carson, Ph.D., estadístico principal de Neptune and Co., es el coordinador de la columna Data Points. Es presidente del subcomité sobre Control de calidad estadístico (E11.30), miembro del Comité de calidad y estadística (E11) y miembro de los Comités de Productos a base de petróleo, combustibles líquidos y lubricantes (D02), Calidad del aire (D22), Cannabis (D37) y Evaluación ambiental, gestión de riesgos y acción correctiva (E50).

Nota del editor: Con gran tristeza anunciamos que el editor de Data Points, Dean Neubauer, ha fallecido en abril. Dean y Stephen Luko habían colaborado recientemente en esta serie de artículos y otros en el pasado, así como en muchos otros proyectos. Dean se desempeñó como editor de esta columna durante los primeros nueve años y nuevamente desde 2019 hasta su fallecimiento este año. Extrañaremos mucho sus contribuciones a Standardization News y al Comité de calidad y estadística de ASTM International (E11).